对称式方程,空间直线的对称式方程性质？

摘要空间中的点P(u,v,w)关于直线L: (x-a)/m = (y-b)/n = (z-c)/p 的对称点记为点Q(X,Y,Z).(1)确定过点P,且以向量[m,n,p]为法向量的平面M的平面方程.m(

空间中的点P(u,v,w)关于直线L: (x-a)/m = (y-b)/n = (z-c)/p 的对称点记为点Q(X,Y,Z).

对称式方程,空间直线的对称式方程性质？插图

(1)确定过点P,且以向量[m,n,p]为法向量的平面M的平面方程.

m(x-u)+n(y-v)+p(z-w) = 0.

(2)确定平面M与直线L的交点R的坐标. [点R为点P和点Q的对称中点]

(x-a)/m=(y-b)/n=(z-c)/p = t,

x=mt+a, y=nt+b, z=pt+c,

0=m(mt+a-u) + n(nt+b-v) + p(pt+c-w) = t[m^2+n^2+p^2] + m(a-u)+n(b-v)+p(c-w),

t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2]

点R的坐标为[a+mt, b+nt, c+pt], 其中t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2].

(3)根据点P和点R的坐标,确定点Q的坐标.

u+X = 2(a+mt), X = 2(a+mt) – u,

v+Y = 2(b+nt), Y = 2(b+nt) – v,

w+Z = 2(c+pt), Z = 2(c+pt) – w,

空间中的点P(u,v,w)关于直线L: (x-a)/m = (y-b)/n = (z-c)/p 的对称点Q的坐标为,

[2a-u +2mt, 2b-v + 2nt, 2c-w + 2pt], 其中,t=[m(u-a)+n(v-b)+p(w-c)]/[m^2+n^2+p^2].

您好对称式：（x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n转换成“交面式”,因所选用方程的不同可以有不同的形式.由“左方程”：(x-x0)/l=(y-y0)/m=>mx-mx0=ly-ly0=>mx-ly+ly0-mx0=0同理,由“右方程”ny-mz+mz0-ny0=0则,经转换后交面式方程的各系数分别为：A1=m,B1=-l,C1=0,D1=ly0-mx0对称式方程；A2=0,B2=n,C2=-m,D2=mz0-ny0

举一个实例.把｛2x+3y-4z+2=0 ；x+2y+3z-1=0 化为对称式 .方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2,3,-4）,平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1,2,3）,因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17,-10,1）（向量叉乘会吧?）取 x = 10,y = -6,z = 1 ,知直线过点 P（10,-6,1）,所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 .方法二：把 z 当已知数,可解得 x = 17z-7 ,y = 4-10z ,由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ,把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ,就得结果.方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ,z2 = 2,代入原方程可知直线过 A（10,-6,1）,B（27,-16,2）,所以直线的方向向量为 AB =（27-10,-16+6,2-1）=（17,-10,1）,所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 .

对称式由直线上一点和直线的方向向量决定

(1)先求一个交点，将z随便取值解出x和y

不妨令z=0

由x+2y=7

-2x+y=7

解得x=-7/5,y=21/5

所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点

(2)求方向向量

因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1)

所求直线的方向向量垂直于2个法向量

由外积可求

方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)