常数e,数学里的自然底数e是怎么来的？

自然常数由18世纪的大数学家欧拉推广开来常数e，所以这个数又被称为欧拉数，用字母e表示。e在数学中非常重要，通常会用到以e为底的对数，所以这个数又被称为自然底数。

自然常数e源自银行对复利的计算。假如你有1元钱存在银行里，银行的年利率为100%。那么，在一年后，你的资产将变为(1+1)^1元=2元。如果银行换一种利息计算方式，半年结算一次利息，并且半年利率为50%。那么，在一年后，你的资产将变为(1+0.5)^2元=2.25元。如果是每个月结算一次利息，并且月利率为1/12。那么，在一年后，你的资产将变为(1+1/12)^12元=2.61元。如果是每天结算一次利息，并且天利率为1/365。那么，在一年后（不考虑闰年），你的资产将变为(1+1/365)^365元=2.71元。

可以看到，利息的结算周期越短，最终回报越多。观察规律可得，这种利息的计算通式为(1+1/n)^n。既然利息结算周期越短收益越多，那么，如果每时每刻都在结算利息，即n趋于无穷大，最终的收益会是多少？也会变得无穷大吗？

事实上，当n趋于无穷大时，(1+1/n)^n等于一个常数，其大小为2.7182818284…。于是，人们就把这个常数定义为自然常数。数学家证明，自然常数是一个无理数，同时也是一个超越数（不能用整系数代数方程来表示的实数）。根据上述结果，e的表达式可写成：

此外，e还可以用无穷级数表示：

项数取得越多，越接近e的真实数值。

虽然自然常数没有圆周率广为人知，但它实际也被应用于诸多问题，例如，生长或衰变速率、概率问题、质数分布等等。很多自然变化规律都是遵循以自然常数为底的指数函数，正因为如此，这个数被冠之以“自然常数”。

Let A=(1+n)^((1-n)/n)

Let B=(1+n)^(1/n)

Let C=(1+n)^((1+n)/n) (n→+0）

So C/A=(1+n)^2→1 and A<B<C

由夹逼定理得 当n→+0时 A的极限存在

同理 当n→－0时 A的极限也存在

数学上规定，当n→0时 A的极限值为e

另一方面，可由e^x的泰勒级数展开式，并令x=1,便得出e的近似值2．718281828．．．

由于编辑数学公式太繁，所以写的不规范，请原谅．你也可以参看大学课本．

  这是对自然的科学解说，所以准确的说应该是发现而不是发明。从科普贴上摘了两个版本，大致差不多，希望能帮到你~
版本一：1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。 
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。
  
版本二：第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli)。
        
已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
  
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