1的无穷次方,1的正无穷次方的极限公式？

证明1的无穷次方：im f(x)^g(x)=lim e^[In(f(x)^g(x))]=lim e^[g(x)Inf(x)]=e^[lim [g(x)Inf(x)] ]知道im f(x)^g(x)是关于x的1的无穷次方类型的极限所以f(x)->1 ,g(x)->∞所以Inf(x)->0我们已经知道当t->0时，e^t-1 -> t我们令t=Inf(x),则e^Inf(x)-1 -> Inf(x)所以 Inf(x) 与 e^Inf(x)-1 (即f(x)-1) 为等价无穷小所以，im f(x)^g(x)=e^[lim [g(x)Inf(x)] ]=e^[lim g(x)[f(x)-1] ]

首先，1的无穷大次方并不等于e，而是等于1。 之所以会产生这样的歧义主要是因为以下两个式子： 乍一看仿佛是等量代换，得出1的无穷次方等于e， 【但是】—— 这样的等量代换在极限的计算过程中是不可行的， 【因为】—— 极限的计算与普通的运算不一样，凡是带有极限的式子都是一个整体，并不能拆开来先算一部分然后再算另一部分。这是因为极限式中的每一部分对极限的整体收敛是同步在起作用的，而不是一部分先收敛，另一部分之后再进行。 就拿这道题的例子： 当x趋于正无穷时，虽然1/x在不断减少，但作为指数的x却在不断增大， 指数x增大的这部分弥补并逐渐超越了1/x减少的部分， 所以整个极限式是在不断增大的，并且无限趋近于e （比如：1.0001已经很接近1了，但1.0001^10000却等于2.718145…远远大于1） 所以下面才是正确的式子： ————————————————————————— 【补充】—— 为什么x的增大能超越1/x的减小？ 见下图 随着x的增大，1/x减少的速度越来越慢，而x的增长速度却始终不变， 这样一来，两边速度差就会越来越大，最终导致了极限e的诞生~

1的无穷次方不是1的原因：当x趋于正无穷时，虽然1/x在不断减少，但作为指数的x却在不断增大，指数x增大的这部分弥补并逐渐超越了1/x减少的部分，所以整个极限式是在不断增大的，并且无限趋近于e。
设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0X），对应的函数值f（x）总满足不等式|f（x）|>M，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷大。

答:两个都对。其实，e^lim[g(x)lnf(x)]与e^a，a=limf(x)g(x)是一样的。以下是证明:证明:limf(x)^g(x)=lime^[In(f(x)^g(x))]=lime^[g(x)Inf(x)]=e^[lim[g(x)Inf(x)]]已知limf(x)^g(x)是关于x的1的无穷次方类型的极限，所以，f(x)->1,g(x)->∞，故Inf(x)->0，已知:当t->0时，e^t-1->t，令t=Inf(x),则e^Inf(x)-1->Inf(x)，故，Inf(x)与e^Inf(x)-1(即f(x)-1)为等价无穷小。所以，limf(x)^g(x)=e^[lim[g(x)Inf(x)]]=e^[limg(x)[f(x)-1]].