内插法和外推法举例,牛顿内插公式的推导和应用

在古代内插法和外推法举例，人们很早就运用 “ 四舍五入 ” 这一方法了。

我国公元前2世纪的《淮南子》一书就用12个整数表示一2个律管的长度。书中假定黄钟律管的长度是81，那么 … ，把应钟七2（2 /4) 进作43； …… ；中吕59 (2039/2187) 进作60；这些都是采用四舍五入的方法来写成整数的。

《九章算术》里也采用 “ 四舍五入 ” 的方法，在用比例法求各县应出的车辆时，因为车辆是整数，他们就采用四舍五入的方法对演算结果加以处理。

公元237年三国魏国的杨伟编写 “ 景初历 ” 时，已把这种四舍五入法作了明确的记载： “ 半法以上排成一，不满半法废弃之。 ” 法在这里指的是分母，意思是说，分子大于分母一半的分数可进1位，否则就舍弃不进位。

公元604年的 ” 皇极历 ” 出现后，四舍五入的表示法更加精确： “ 半以上为时，以下为退，退以配前为强，进以配后为弱， ” 在 “ 皇极历 ” 中，求近似值如果进一位或退一位，一般在这个数字后面写个 “ 强 ” 或 “ 弱 ” 字，意思就表明它比所记的这个数字多或不足，这种四舍五入法，完全和现在的相同。

在计算近似值时，除了用四舍五入法以外，还有其他方法。《九章算术》里已经出现了开方和近似公式，但是这个公式的误差较大。到了《孙子算经》中，采用了新的近似值的计算法 —— 不加借算法公式，到了《五经算术》和《张邱建算经》中，又提出了一个更加精确的计算近似值的公式 —— 加借算法公式。而印度的开方方法与我国基本相似，但是比我国要晚500多年。

在西方，有关近似值的算法应该首扒欧几里得的除法率。它是利用强弱二率来计算近似数值的，但是他的这一算法我国南北朝时的何承天也已经独立地使用过，只不过比欧几里得的要晚几百年。

另外，计算近似值的方法 —— 内插法也是我国最早发现的。内插法主要运用在函数上。用现代数学语言表示为：已知函数 f(x) 在自变量是X 1,X2,… X n 时的对应值是 f(X1),f(x2)… F（X n), 求X i 和X i+1 之间的函数值的方法，叫做内插法。如果X n 是按等距离变化的，则叫作自变量等距离内插法；如果X n 是按不等距离变化的，就叫作自变量不等距离内插法。这种方法在《九章算术》里的盈不足章里就有初步的应用，主要应用到解一次方程上，称之为直线内插法。

公元206年，数学家刘洪第一次明确地提出了内插法的方法，到了公元昼焯提出了等间距二次内插法公式并且首次把内插法由直线应用到曲线上。《隋书 · 律历志》对此作了明确的记载。

公元瓦27年，唐朝天文学家僧一行在编制《大衍历法》时，经过认真研究，发现太阳在黄道上的视运动速度不是均匀不变的，而是时快时慢，冬至时最快，以后渐慢，到春分速度平均，夏至最慢，夏至后则相反。根据这一原理，他把一年分为四段，秋分到冬至，冬至到春分都是88 .89 天，春分到夏至、夏至到秋分都是93 .75 天，在求太阳经得度数时，由于两个节气间的时间是一个变量，所以他创立了自变量 “ 不等间距二次内手法公式 ” 。运用这一公式，计算结果就更加精确了。

在欧洲，内插法公式是著名的科学家牛顿提出来的，最早见于1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，所以西方把这一公式叫做 “ 牛顿内插公式 ” 。其实，它比我国刘焯的内插法要晚1000多年参考资料： /question/12336870.html