主子式,在行列式中，“主子式”这个概念有什么意？

在行列式中主子式，“主子式”这个概念有什么意义？用途呢？

用途之一就是判定矩阵的正定性：

设A为n阶实对称方阵，

1.A是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于0;

2.A是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于0；

3.A是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0；

4.A是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0.

问一问学数学的，可能还有很多。

如果一个矩阵所有的顺序主子式大于等于0，这个矩阵是半正定的么？

必须有对称性, 否则命题不成立

对于满足条件的n阶Hermite阵A, 以及任何t>0, 先验证A+tI所有主子式都大于零, 于是A+tI是正定阵, 让t->0+即得结论, 所以关键就是验证A+tI的主子式大于零.

A+tI的低阶主子式都可以用归纳法解决, 唯有n阶主子式, 即det(A+tI)本身需要另外验证

将det(A+tI)展开成det(A+tI)=t^n+b_1*t^{n-1}+…+b_{n-1}t+b_n,

其中b_k是A的所有k阶主子式的和, 由条件立即得到t>0时det(A+tI)>0

奇阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，是什么意思？

既然已经推出D(k)=D(k-1)-D(k-2)/4,该递推关系的特征多项式是x^2-x 1/4

利用特征值法可知D(k)的通项公式为D(k)=(1/2)^n(c1 c2*k),代入两个初值解出D(k)=(n 1)/2^n即可

仅就这个问题而言更省事的证法是先用圆盘定理得到该矩阵的特征值非负,再注意它是有两行严格占优的不可约对角占优阵,必定非奇异,从而正定

楼上的方法最好也掌握,另外最好知道该矩阵的谱分解

如何判断一个矩阵是正定，负定二次型？

这要看具体的题目,确定用什么方法 若是纯数字矩阵,我感觉用顺序主子式的方法不算太麻烦. 下面供你参考: 设A是实对称矩阵,则下列条件等价:

1.A是正定的

2.A的正惯性指数等于它的阶数n

3.A相合于单位矩阵,即存在可逆实矩阵T,使得T’AT=En

4.存在可逆实矩阵S,使得A=S’S

5.A的所有顺序主子式都大于0

6.A的所有主子式都大于0

7.A的特征值都大于0 负定的情况相应改一下吧