沃利斯公式,人类不停的计算圆周率有什么意义？

圆周率π在数学上被证明是一个无理数沃利斯公式，所以它的小数位是无穷无尽的，人们一直试图能够算出更多小数位的圆周率。最近，圆周率小数位的纪录刚刚被打破，有人已经计算出了圆周率小数点后的31.4万亿位。那么，计算出这么多的圆周率小数位有什么意义呢？

早在两千多年前，古希腊数学家阿基米德利用割圆术来算圆周率。通过计算圆的内接正96边形和外切正96边形的周长，可以算出圆周率的下限为223/71，即3.1408；上限为22/7，即3.1429。七百多年后，我国数学家祖冲之把圆的外切和内接正多边形计算到了12288边形，由此正确地算出了圆周率小数位的前7位。这个纪录保持了千年之久，直到被波斯数学家卡西打破，他计算到了16位。不久后，荷兰数学家鲁道夫利用正2^62边形计算出了35位。

通过割圆术来计算圆周率的效率并不高，很难用这种方法计算出更多小数位。后来，数学家发现了有关圆周率的无穷级数，人们得以更高效地算出圆周率更多的小数位。例如，莱布尼茨发现的圆周率公式：

沃利斯发现的圆周率无穷乘积公式：

梅钦发现的梅钦类公式：

拉马努金发现的收敛速度更快的圆周率公式：

在计算机的帮助下，人们利用收敛速度非常快的圆周率公式可以把圆周率小数位迅速计算到数百万位。在今年的圆周率日（3月14日）之前，圆周率的小数位已经被Peter Trueb算到了22.45万亿位。

到了圆周率日当天，来自谷歌云平台（Google Cloud Platform）的女程序员Emma Haruka Iwao宣布，经过121天的运算，她已经把圆周率的小数位算到30万亿位之外，达到了31415926535897。这个数值颇有含义，因为圆周率就是3.1415926535897……

Emma Haruka Iwao

不过，把圆周率的小数位计算到这么多位已经没有什么实际意义了，因为几十位的小数位已经完全够用。要知道，在航天工程计算时也只会用到大约16位，理论物理学中一般最多也只会用到32位，而用39位来算可观测宇宙的大小，其误差也不过一个原子尺度。

如果要说意义，可能主要就是为了打破纪录，毕竟，人类总有挑战极限之心。另外，通过计算圆周率还能用于测试超级计算和数值分析算法的性能。

π 大概是数学中最著名的数了。它的值圆周的周长和它的直径的比值，无论圆周是大是小，π 的值都是恒定不变的。古往今来的数学家为之迷倒的不可胜数，先来看下面这些曾与 π 共舞大数学家吧：

但 π 的值可以从一些数列等式中计算得到. 比如这个著名的莱布尼兹公式数列展开式是：

这个式子通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。

但是这个数列想要计算 π 的值需要一个很痛苦漫长的过程，才能收敛到 π 是几乎不可能的，莱昂哈德·欧拉找到了一个可以收敛到 π 的重要序列等式:

可以从下面动画中来观察两个等式的在前 100 項展开式的收敛过程：

与 π 等价的等式

标注下这几个等式中出现的函数：

EllipticE 为第二类(完全)椭圆积分函数；

EllipticK 为第一类完全椭圆积分函数；

Zeta 为黎曼 Zeta 函数；

PolyLog 为多对数函数；

π 的几个级数展开等式：

第一个等式其实就是莱布尼兹公式数列展开式了。

积分式子来表示 π：

参考资料：

维基百科；WolframAlpha；

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