求函数单调区间的步骤,解函数的单调区间的方法和步骤

单调性的定义及其三种表述方法:

设有函数y = f(x) , ( X∈M )

（1）求函数单调区间的步骤、首先根据函数图象的特点得出定义的图象语言表述

如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右上升，则函数是增函数；

如果在定义域的某个区间里，函数的图像从左到右下降，则函数是减函数。

（2）、其次给出函数的相应的性质定义的文字语言表述

如果在某个区间里y随着x的增大而增大，则称y是该区间上的增函数，该区间称为该函数的递增区间；

如果在某个区间里y随着x的增大而减小，则称y是该区间上的减函数，该区间称为该函数的递减区间。

递增区间和递减区间统称为函数的单调区间，在定义域上的增函数和减函数称为单调函数。

（3）、最后翻译为数学符号语言，得到定义的数学语言表述：

如果对于任意的 x1、x2∈[a、b]包含于M，

若当x1<x2 时，有y1<y2，即 f(x1)<f(x2) ，则称f(x)在［a、b］上递增，称y是该区间上的增函数，［a、b］称为y = f(x) 的单调增区间；

若当 x1<x2 时，有y1>y2 ，即f(x1)>f(x2) ，则称f(x)在［a、b］上递减，称y是该区间上的减函数，［a、b］称为y = f(x) 的单调减区间；

2、 定义的剖析：

（1） 单调性是函数随自变量的变化而变化的局部特性，是函数的一个的局部性质，在定义域的不同的局部，函数的单调性可能不同，也可能相同。因此在说到函数的单调性时，一定要指明所在区间。

例：

Y

0 X

（2） 在每个局部的单调性不同时，整体上必定没有单调性。

例：二次函数

（3） 每个局部的单调性都相同时，整体上可能有相同的单调性。

例：一次函数

（4）每个局部的单调性都相同时，整体上也可能没有单调性。

例：反比例函数

（5）整体上有单调性时，则任意局部都有相同的单调性。

例：一次函数

（6）整体上没有单调性时，可能在任意的局部都没有单调性。

例：迪里赫来函数

（7）必须注意x1、x2 的任意性，只要有一个反例，即可证明该区间不是函数的单调区间。

例：有间断点的分段函数

3、(新课标苏教本必修一课本P34)例题讲解

学法指导——典型问题及解法

1、证明或判定函数在给定区间上的单调性的方法与步骤

（1） 定义法：［取值、作差（或作商）、变形（化积或配方）、判断］

作差是把比较两个实数（或代数式）的大小转化为比较一个实数与零的大小，这只须判断该实数的符号即可，是问题的简化；

变形是为了把比较复杂的式子化成易判断符号的形式：

① 把差式化为若干个因式的乘积，其中每个因式的符号可以判定；

② 不能因式分解时可配方化为若干个完全平方的和，

例： ,(作差后变形时先因式分解再配方).

（2） 图像法：用描点法作出函数的图象，并根据图象的特点判定单调性。

例： ,(注意使用描点法作函数图象的步骤)

2、求函数的单调区间的方法与步骤

（1）求出函数的定义域

（2）将定义域划分为若干个区间

（3）判定在各个区间上的单调性

（4）确定函数的单调区间

解此类问题的关键是要找到定义域的分段点

例：

3、比较两个数的大小的步骤：

①观察欲比大小的两个数的结构，把二者不同的部分换成自变量x，相同的部分保持不变，确定拟利用的函数y=f(x)及其定义域。

②把已知的两个数不同的部分作为该函数的自变量x的两个值，两个数作为相应的两个函数值，并确定自变量所在区间；

③确定该函数在该区间上的单调性；

④根据自变量的大小确定函数值的大小，即已知的两个数的大小。

例1：(新课标苏教本必修一P50例1,P67例2)

例2： 比较 的大小.

解：根据题设的两个对数，选择 ，u∈（0，+∞）

由 解得x＞–1.

因函数 在（0，+∞）上单调递增，

当x＞–1时，有 .

故有 。

注意：①解题过程中应注意充分利用图像。

②有时两数结构不相同,需要选择适当的中介数完成任务。

例：(新课标苏教本必修一 P70NO7)

③有时需要利用函数的奇偶性或周期性转换区间。

例：比较 的大小.

答疑解惑

1、定义中对于区间的表示方法问题为何可用一个大写字母表示？为何不写端点？

因为区间有各种情况（开、闭、半开半闭、无穷等），有各种不同的表示形式，但都是一个数集，故统一用一个大写字母表示。

2、单调性改变点的归属区间问题

从定义域划分为区间应遵从不重不漏的原则上来讲，两个相邻区间的公共端点应只属于前后其中一个区间。但在求求一个函数的某个单调区间时，端点能包含进去的应写成闭区间，即一个点可以同时属于两个相邻的单调区间，但加端点后不单调的情形，就不能加，　一般如果区间的左（右）端点上不是右（左）连续的话，单调区间有可能不能包括端点。

2、单调区间的并集就是定义域的说法正确吗？

单调区间合起来是定义域,这个结论不完全正确,对于连续函数来说是正确的，但对于一些特殊的函数就不一定对了，

例如：分段函数y=1/x(x<>0)或=0(x=0)

3、根据函数的图象求函数的单调区间要注意什么？

图象一定要准确、完整，对于观察得出的结论要严格证明，根据图象先猜后证。

4、如何证明函数在某区间上不是单调函数？

　只须举出一个反例即可，

例：y =sinx 在 不是增函数．

5*、离散函数都不具有单调性”这句话是否正确？

如果把定义域理解为可以是只包含离散点的情况，这句话是不正确的，如数列的通项公式即为离散函数的表达式，则离散函数可以具有单调性．我们不是总说递增数列或递减数列吗？

如果把定义域理解为不包含只含有离散点的情况，因为离散函数的定义域也是离散的，不具有连续性，故不存在单调区间，也就不具有单调性。

应用例析

1、求函数的值域或最值

闭区间上的单调函数的值域即为两端点函数值所确定的区间。两端点函数值即为函数的最值。

例：(略)

2、证明与自然数有关的命题

例： 已知x＞-1，且x≠0， ，求证：

证明：

（分析：）欲证 ，只需证 ，

（构造函数：）可令

（判定该函数的单调性：）

是单调递减函数，又

，即（1+ .

3、解方程

例：解方程 .

分析：令 。显然，在公共定义域里，f（x）是增函数，

g（x）为减函数.直接验证知f（1）= g（1）.以此为基础，用函数f（x）、g（x）的单调性即可求出原方程的解.

解：设 .

在它们共同的定义域里，f（x）为单调递增函数，g（x）为单调递减函数.

显然f（1）=g（1）且

时，有f（x）＞f（1）= g（1）＞g（x）;

–2＜x＜1时，有f（x）＜f（1）= g（1）＜g（x）

即原方程f（x）= g（x）仅有一解 x=1

故x=1是原方程的解.

4、证明不等式

例： 已知 a、b、c ，求证：

简析：观察题中的 的外表特征，自然会考虑构造函数

f（x）= .显然，此函数在0≤x＜+∞上是增函数.由 得出 后，原题的证明即能实现.

证明：构造函数 ，由此可知f（x）在 上是单调递增函数.

5、求参数的取值范围

例： 已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且0＜θ＜ 时,

,求t的取值范围.

简析:因已知函数f（x）是奇函数,将已知不等式移项后可得 .然后,根据f（x）是减函数又可得 .最后，根据它的外形特征可构造函数 .易证，它在（0，1）上是减函数.利用此函数的单调性，t的取值范围即可求得.

解：由题设知 .

∵f（x）是奇函数，故有

∴

∵f（x）在R上是减函数，故有 ，整理得 .

构造函数 ，它在（0，1）上是减函数，值域为

综上所述 ，用函数单调性解题的关键是，通过观察、分析、联想，构造一个适当的函数，若构造的这个函数的单调性不明显，则需证明它具有单调性（如例2），然后根据函数的单调性去求解或证明.

探究课题

1、判断函数单调性的等价定义法（判断 的符号

2、复合函数的单调性判定法则：同增异减。

3、由已知单调性的函数的和、差、积、商构成的函数的的单调性。

知识拓展

1、 严格单调与非严格单调，常值函数。

2、 如何利用有关定理判定函数的单调性

①互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

②奇函数在对称区间上具有相同的单调性

③偶函数在对称区间上具有相反的单调性。

3、用导数研究函数的单调性