点到平面的距离公式,用坐标求点到面的距离公式？

点到直线的距离公式是高中常见的解析几何公式，形式很优美，但很多人不清楚它的由来，本篇主要来推导一下这个公式，并推广到点到面的距离公式。基础知识向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude)向量点积(dot product)点到平面的距离公式： 图：向量AB，AC示意图=|/overrightarrow{A+B}|+/times|/overrightarrow{A+C}|+/times+/cos+/theta” alt=”/overrightarrow{A B} /cdot /overrightarrow{A C}=|/overrightarrow{A B}| /times|/overrightarrow{A C}| /times /cos </overrightarrow{A B}, /overrightarrow{A C}>=|/overrightarrow{A B}| /times|/overrightarrow{A C}| /times /cos /theta” eeimg=”1″/> 于是 另 。注： 点乘为两个向量对应乘积之和.向量 在向量 上的投影AD：图：投影示意图 所以，向量 在向量 的投影长度，等于向量 点乘向量 的单位向量(要加绝对值)。点到直线的距离公式任意一条直线l:ax+by+c=0,点 ,求点A到直线l的距离。（Find the distance between a point A and a line l）图：直线l与点A示意图在直线l上任取一点 ，则 ，如下图所示。图：点B点A到直线l的距离，等于AC的长度，也等于向量 在向量 上的投影，也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。而直线的方向向量(direction vector)为 , 法向量(normal vector)为 ，则根据基础知识中的介绍， 又因为， ，所以点A到直线l的距离公式为： 点到面的距离公式点A到平面 的距离。(Find the distance between a point A and a plane )图：点A与平面与点到直线的距离做法类似，先在平面 上找一点 , 以及平面 的法向量 。其中，平面的法向量为 。图：点B与法向量n于是点A到平面 的距离就是向量 在向量 上的投影，也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。 推广：n维空间中点A到n维超平面的距离点 ，超平面 ，则点A到超平面 的距离为： 欢迎交流指正~~如果想看更多有趣的数学知识，可参阅双木止月Tong：国际数学竞赛及课程

立体几何点到平面的距离公式：d=|n.MP|/|n|。数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。是由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别,既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。

立体几何中点到平面的距离公式：点(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离d=︱Ax+By+Cz+D︱/√(A^2+B^2+C^2)。
数学上，立体几何（solid geometry）一般作为平面几何的后续课程，是三维欧氏空间的几何的传统名称——因为实际上这大致就是人们生活的空间。立体测绘（Stereometry）处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔，瓶盖等等。 毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯（Eudoxus）建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。