收敛和发散怎么判断,怎样理解高数中的发散与收敛？

摘要在数学分析中,与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence).发散函数的定义是：令f(x)为定义在R上的函数,如果存在实数b>0,对于任意给出的c>0,任意x1,x2满足|

在数学分析中,与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence).发散函数的定义是：令f(x)为定义在R上的函数,如果存在实数b>0,对于任意给出的c>0,任意x1,x2满足|x1-x2|0,对任意x1,x2满足0收敛和发散怎么判断。简单的说有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。 f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

收敛和发散怎么判断,怎样理解高数中的发散与收敛？插图

判断级数是收敛是发散，可以利用交错级数的莱布尼茨判别法，对于交错级数∑(-1）^n Un，若{Un}单调下降趋于0，则级数收敛，否则为级数发散。令Un=ln n/(n^p)：
（1）当p≤0时，可知|(-1)^n Un|不趋于0，所以级数发散。
（2）当p>0时，令F(x)=lnx/(x^p)，由F'(x)=x^(p-1)[1-plnx]/(x^p)²可知，只要x充分大，则F'(x)0时，Un从某项开始起单调下降，又lim【n→∞】lnx/(x^p)=0，所以通项Un满足单调下降趋于0，因此当p>0时，级数收敛。

  看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如1+1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来。基本公式：1。一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1。
  2。等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d???an=ak+(n-k)d??(其中a1为首项、ak为已知的第k项)?当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3。等差数列的前n项和公式：Sn=An^2+Bn??Sn=na1+[n(n-1)]d/2?Sn=(a1+an)n/2。

  当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4。等比数列的通项公式：an=a1qn-1??an=akqn-k?(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)。5。等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1??(是关于n的正比例式)。